Prost! oder Prosit! sind Trinksprüche, die man sagt, wenn man ein - meist alkoholisches - Getränk zu sich nimmt. Das ist sozusagen das Gegenstück zu einem "Guten Appetit!", wenn man ein Essen beginnt.
An Silvester wird das neue Jahr gefeiert. Deswegen stößt man um Mitternacht mit den anderen Leuten an und prostet sich zu. Mit dem "Prost Neujahr!" begrüßt man also das neue Jahr.
Womit Sie anstoßen, bleibt ganz Ihnen überlassen, traditionell ist aber meist Sekt oder Champagner